n 0 के लिए,int_0^{2pi } {frac{{x{{sin }^{2n | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $.गुणधर्म $\int_0^a {f(x)dx = \int_0^a {f(a - x)dx} }$

Vedclass · Accepted Answer

${\pi ^2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $.गुणधर्म $\int_0^a {f(x)dx = \int_0^a {f(a - x)dx} }$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}(2\pi - x)}}{{{{\sin }^{2n}}(2\pi - x) + {{\cos }^{2n}}(2\pi - x)}}dx} $$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(2\pi - x){{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^{2\pi } {\frac{{2\pi {{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $$I = \pi \int_0^{2\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $गुणधर्म $\int_0^{2a} {f(x)dx = 2\int_0^a {f(x)dx} }$ का उपयोग करते हुए यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:$I = 2\pi \int_0^{\pi } {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (समीकरण $i$)इसी प्रकार,$I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\cos }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}dx} $ (समीकरण $ii$)$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = 4\pi \int_0^{\pi /2} {1 dx} = 4\pi \left( \frac{\pi }{2} \right) = 2{\pi ^2}$अतः,$I = {\pi ^2}$.

$n > 0$ के लिए,$\int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}\,dx = } $

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$\int_0^\pi {{e^{{{\cos }^2}x}}{{\cos }^5}3x} \,dx$ का मान है

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{d x}{1+\cos x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

यदि $f(x) = f(\Pi + e - x)$ और $\int_{e}^{\Pi} f(x) dx = \frac{2}{e + \Pi}$ है,तो $\int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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