int_{-2 pi}^{2 pi} sin ^4(2 x) cos ^6(2 x) d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$. $f(x) = \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{2 \pi}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \pi}{64}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$. $f(x) = \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$. ધારો કે $2x = t$,તેથી $2 dx = dt$,એટલે કે $dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = 2 \pi, t = 4 \pi$. $I = 2 \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) \frac{1}{2} dt = \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{n T} f(t) dt = n \int_{0}^{T} f(t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $T = \pi$: $I = 4 \int_{0}^{\pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 4 	imes 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$. વોલિસના સૂત્ર $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m(x) \cos^n(x) dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} 	imes \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 8 	imes \frac{(3 	imes 1) 	imes (5 	imes 3 	imes 1)}{(10 	imes 8 	imes 6 	imes 4 	imes 2)} 	imes \frac{\pi}{2} = 8 	imes \frac{45 \pi}{7680} = \frac{3 \pi}{64}$.

$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x=$

Similar Questions

$\int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy = 2 \sqrt{x} - 6 \implies f(x) = ?$

વિધેય $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$ એ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે?

$\int_{-3\pi}^{3\pi} \sin^2 \theta \sin^2 2\theta \, d\theta$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin \sqrt{t}) dt }{x^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin x \cdot \sin \sqrt{\theta}}{1 + \cos^2 \sqrt{\theta}} \, d\theta$ હોય,તો $f'(\frac{\pi}{2})$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module