int_{-pi}^pi frac{2 x(1+sin x)}{1+cos ^2 x} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x

Vedclass · Accepted Answer

$\pi^2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx + \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = I_1 + I_2$.$I_1 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.કારણ કે $f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = -\frac{2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$,તેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.તેથી,$I_1 = 0$.$I_2 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $g(x) = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x}$.કારણ કે $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} = g(x)$,તેથી $g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.તેથી,$I_2 = 2 \int_0^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4 \int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.$I_2$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$.જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$.$2I_2 = 4\pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = 4\pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = 4\pi [	an^{-1} u]_{-1}^1$.$2I_2 = 4\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 4\pi (\frac{\pi}{2}) = 2\pi^2$.આમ,$I_2 = \pi^2$.અંતે,$I = I_1 + I_2 = 0 + \pi^2 = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 x(1+\sin x)}{1+\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

$ \int_{-3}^{3} (ax^5 + bx^3 + cx + k) dx $ નું મૂલ્ય,જ્યાં $a, b, c, k$ અચળાંકો છે,તે માત્ર . . . . . . પર આધાર રાખે છે.

જો $\int_0^{\pi / 2} \tan ^{14}\left(\frac{x}{2}\right) d x=2\left[\sum_{n=1}^7 f(n)-\frac{\pi}{4}\right]$ હોય, તો $f(n)=$

$ \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx = $

જો $f(x) = \frac{2 - x \cos x}{2 + x \cos x}$ અને $g(x) = \ln x$ $(x > 0)$ હોય,તો સંકલન $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ ની કિંમત શોધો.

$I=\int_{\sqrt{\log _e 2}}^{\sqrt{\log _e 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2+\sin \left(\log _e 6-x^2\right)} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module