int_0^pi frac{theta sin theta}{1+cos ^2 theta | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{	heta \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$ ... $(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने

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$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{	heta \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$ ... $(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-	heta) \sin (\pi-	heta)}{1+\cos ^2(\pi-	heta)} d 	heta$चूँकि $\sin(\pi-	heta) = \sin	heta$ और $\cos(\pi-	heta) = -\cos	heta$,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-	heta) \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$ ... (ii)$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi \frac{	heta \sin 	heta + (\pi-	heta) \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta = \int_0^\pi \frac{\pi \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$माना $\cos 	heta = t$,तब $-\sin 	heta d 	heta = dt$. जब $	heta = 0, t = 1$ और जब $	heta = \pi, t = -1$.$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$$2I = \pi [	an^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$$2I = \frac{\pi^2}{2} \Rightarrow I = \frac{\pi^2}{4}$

$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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