int_{- 1 / 2}^{1 / 2} { [x] + log (frac{1 + x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx$. हम समाकलन को $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx + \int_{- 1 / 2}^{1 /

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$- 1 / 2$

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(C) माना $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx$. हम समाकलन को $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx + \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \log (\frac{1 + x}{1 - x}) dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं। माना $f(x) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})$ है। तब $f(- x) = \log (\frac{1 - x}{1 + x}) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})^{- 1} = - \log (\frac{1 + x}{1 - x}) = - f(x)$ है। चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \log (\frac{1 + x}{1 - x}) dx = 0$ होगा। अब,$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx$ पर विचार करें। $x \in [- 1 / 2, 0)$ के लिए,$[x] = - 1$ है। $x \in [0, 1 / 2]$ के लिए,$[x] = 0$ है। अतः,$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx = \int_{- 1 / 2}^{0} (- 1) dx + \int_{0}^{1 / 2} 0 dx = [- x]_{- 1 / 2}^{0} = 0 - (1 / 2) = - 1 / 2$ है। इसलिए,$I = - 1 / 2 + 0 = - 1 / 2$।

$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx =$

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