एक छात्र को (2n+1) पुस्तकों के संग्रह से कम स | vedclass

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Question

(B) $(2n+1)$ पुस्तकों में से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने के कुल तरीके संयोजनों के योग द्वारा दिए जाते हैं:
$^{2n+1}C_{n+1} + ^{2n+1}C_{n+2} + \do

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$9$

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(B) $(2n+1)$ पुस्तकों में से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने के कुल तरीके संयोजनों के योग द्वारा दिए जाते हैं:
$^{2n+1}C_{n+1} + ^{2n+1}C_{n+2} + \dots + ^{2n+1}C_{2n} = 255$.
ध्यान दें कि छात्र सभी पुस्तकें नहीं चुन सकता है,इसलिए $^{2n+1}C_{2n+1}$ पद को बाहर रखा गया है।
हम जानते हैं कि $^{2n+1}C_0$ से $^{2n+1}C_{2n+1}$ तक के सभी संयोजनों का योग $2^{2n+1}$ है।
चूंकि $^{2n+1}C_k = ^{2n+1}C_{2n+1-k}$,पहले आधे पदों का योग दूसरे आधे पदों के योग के बराबर है।
विशेष रूप से,$\sum_{k=n+1}^{2n} {^{2n+1}C_k} = \frac{2^{2n+1}}{2} - 1 = 2^{2n} - 1$.
दिया गया है कि $2^{2n} - 1 = 255$,तो $2^{2n} = 256$ है।
चूंकि $256 = 2^8$,हमें $2n = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
पुस्तकों की कुल संख्या $2n + 1 = 2(4) + 1 = 9$ है।

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