$\left|\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 7 & 11 & 13 \\ 49 & 121 & 169\end{array}\right|=$

જો $A = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{-1, 1\} \right\}$ હોય,તો $A$ માં અસામાન્ય (singular) શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?

નીચેના વિધાનો માટે $T$ અથવા $F$ ના સાચા ક્રમ આપો. જો વિધાન સાચું હોય તો $T$ અને ખોટું હોય તો $F$ નો ઉપયોગ કરો.
વિધાન $-1$ : જો $A$ એ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો $3 \times 3$ શ્રેણિક હોય અને $B$ એ $3 \times 4$ શ્રેણિક હોય,તો $A^{-1}B$ વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધાન $-2$ : એવું ક્યારેય સાચું નથી કે $A + B, A - B$,અને $AB$ ત્રણેય વ્યાખ્યાયિત હોય.
વિધાન $-3$ : દરેક શ્રેણિક કે જેના કોઈ પણ ઘટકો શૂન્ય નથી તે વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો હોય છે.
વિધાન $-4$ : દરેક વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો શ્રેણિક ચોરસ હોય છે અને તેની કોઈ પણ બે હાર સમાન હોતી નથી.

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. તો $A^{2025}-A^{2020}$ બરાબર શું થાય?

નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I$. એવા બે ત્રિકોણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે કે જેમાં એક ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $1 \text{ cm}$ કરતા નાની હોય જ્યારે બીજા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $10 \text{ m}$ કરતા મોટી હોય,પરંતુ પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બીજા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય.
$II$. જો $x, y, z$ બધા અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ એ $x$ ની માત્ર એક વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
$IV$. એક શ્રેણિકમાં $12$ ઘટકો છે. તેની શક્ય કક્ષાઓની સંખ્યા $6$ છે. હવે સાચો વિકલ્પ દર્શાવો.

ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{5}$ અને $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. જો $B = A + A^4$ હોય,તો $\det(B)$