ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{5}$ અને $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. જો $B = A + A^4$ હોય,તો $\det(B)$

શ્રેણિક $f(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: $f(-x)$ એ શ્રેણિક $f(x)$ નો વ્યસ્ત છે.
વિધાન $II$: $f(x) f(y) = f(x+y)$.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

ધારો કે $A = [a_{ij}]_{2 \times 2}$ જ્યાં તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} \neq 0$ અને $A^2 = I$ છે. ધારો કે $a$ એ $A$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે અને $b = |A|$ છે,તો $3a^2 + 4b^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો $a, b, c$ ધરાવતો $2 \times 2$ સંમિત શ્રેણિક છે. નીચેનામાંથી કઈ શરતો ખાતરી આપે છે કે $M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે?
$(A)$ પ્રથમ સ્તંભ એ બીજી હારના પરિવર્તિત શ્રેણિક જેટલો છે.
$(B)$ બીજી હાર એ પ્રથમ સ્તંભના પરિવર્તિત શ્રેણિક જેટલી છે.
$(C)$ $M$ એ શૂન્યતર વિકર્ણ ઘટકો ધરાવતો વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
$(D)$ $ac$ એ પૂર્ણવર્ગ નથી.

ધારો કે $1, \omega$ અને $\omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે. જો $S$ એ $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના તમામ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકોનો ગણ હોય,જ્યાં $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,તો $S$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ સાથે જોડો. સાચી જોડ છે: