$[a, b, a \times b]$ ની કિંમત શું થાય?

સદિશો $i + aj + k$,$j + ak$ અને $ai + k$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $a$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન $1$: જો બિંદુઓ $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ અને $(1, 1, 1)$ સમતલીય હોય,તો $z = 2$.
વિધાન $2$: જો $4$ બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ સમતલીય હોય,તો ચતુષ્ફલક $PQRS$ નું ઘનફળ $0$ થાય.

જો $\vec{u} = \hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{k}$ અને $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ એ $3$-પરિમાણીય અવકાશમાં સદિશો હોય,તો $|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $a, b, c$ એ ભિન્ન અઋણ સંખ્યાઓ છે. જો સદિશો $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ અને $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,તો $c$ એ

ધારો કે એક સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ $1 \text{ cu. unit}$ છે,જેની ધાર $\overrightarrow{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\overrightarrow{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે. જો $\theta$ એ ધાર $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{w}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?