$a \cdot (a \times b) = $

જેના માટે સદિશો $(p+1) \hat{i} - 3 \hat{j} + p \hat{k}$,$p \hat{i} + (p+1) \hat{j} - 3 \hat{k}$,અને $-3 \hat{i} + p \hat{j} + (p+1) \hat{k}$ સુરેખ રીતે આધારિત હોય તેવા $p$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $a = i + j + k$,$b = 4i + 3j + 4k$ અને $c = i + \alpha j + \beta k$ સમતલીય સદિશો હોય અને $|c| = \sqrt{3}$ હોય,તો:

જો ચાર બિંદુઓ $2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}$,$\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$3\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{c}$ અને $\vec{a} - \lambda\vec{b} - 6\vec{c}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

એક સમાંતર ફલક (parallelepiped) નું મહત્તમ ઘનફળ (ઘન એકમોમાં) શું હશે, જેના સહ-આશ્રિત કિનારીઓ સદિશો $\vec{u} = 2a\hat{i} + \hat{k}$, $\vec{v} = a\hat{j} - a\hat{k}$, અને $\vec{w} = 3\hat{i} + a\hat{j}$ છે, જ્યાં $a \in [0, 1]$ છે?

અદિશ $\overline{a} \cdot [(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c})]$ ની કિંમત શોધો.