x=cos theta, y=sin 5 theta Rightarrow (1-x^2) | vedclass

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Question

(D) दिया गया है, $x=\cos 	heta$ और $y=\sin 5 	heta$. सबसे पहले, $	heta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d x}{d 	heta}=-\sin 	heta$ और $\frac{d y

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$-25$

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(D) दिया गया है, $x=\cos 	heta$ और $y=\sin 5 	heta$. सबसे पहले, $	heta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d x}{d 	heta}=-\sin 	heta$ और $\frac{d y}{d 	heta}=5 \cos 5 	heta$. अतः, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d 	heta}{d x / d 	heta} = -\frac{5 \cos 5 	heta}{\sin 	heta}$. अब, द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d 	heta} \left( \frac{d y}{d x} ight) \cdot \frac{d 	heta}{d x}$ ज्ञात करने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d 	heta} \left( -\frac{5 \cos 5 	heta}{\sin 	heta} ight) \cdot \left( -\frac{1}{\sin 	heta} ight) = \frac{25 \sin 	heta \sin 5 	heta + 5 \cos 	heta \cos 5 	heta}{\sin^3 	heta}$. इन मानों को $(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x}$ में रखने पर: $(1-\cos^2 	heta) \left( \frac{25 \sin 	heta \sin 5 	heta + 5 \cos 	heta \cos 5 	heta}{\sin^3 	heta} ight) - \cos 	heta \left( -\frac{5 \cos 5 	heta}{\sin 	heta} ight)$ $= \sin^2 	heta \left( \frac{25 \sin 	heta \sin 5 	heta + 5 \cos 	heta \cos 5 	heta}{\sin^3 	heta} ight) + \frac{5 \cos 	heta \cos 5 	heta}{\sin 	heta}$ $= \frac{25 \sin 	heta \sin 5 	heta + 5 \cos 	heta \cos 5 	heta}{\sin 	heta} + \frac{5 \cos 	heta \cos 5 	heta}{\sin 	heta}$ मानक सूत्र $y = \sin(n \cos^{-1} x)$ के लिए $(1-x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0$ का उपयोग करने पर,यहाँ $n=5$ है, इसलिए $(1-x^2) y'' - x y' = -25 y$ प्राप्त होता है।

$x=\cos \theta, y=\sin 5 \theta \Rightarrow (1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए। ($y$ में)

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यदि $x = a \cos \theta$ और $y = b \sin \theta$ है,तो $\left[\frac{d^2 y}{d x^2}\right]_{\theta = \frac{\pi}{4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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वक्र $x = \theta + \sin \theta, y = 1 + \cos \theta$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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