begin{aligned} & text{यदि } 5(f(x))^2 = x f(x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $5(f(x))^2 = x f(x) + 30$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $10 f(x) f'(x) = x f'(x) + f(x)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $(10 f(x

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(B) दिया गया है $5(f(x))^2 = x f(x) + 30$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $10 f(x) f'(x) = x f'(x) + f(x)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $(10 f(x) - x) f'(x) = f(x)$।माना $I = \int \frac{3 x^3 + (1 - 30 x^2) f(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx$।अंश में $f(x) = (10 f(x) - x) f'(x)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:$I = \int \frac{3 x^3 - 30 x^2 f(x) + (10 f(x) - x) f'(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx$$I = \int \frac{3 x^2(x - 10 f(x)) + (10 f(x) - x) f'(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx$$I = \int \frac{-(10 f(x) - x)(3 x^2 - f'(x))}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx = -\int \frac{3 x^2 - f'(x)}{(x^3 - f(x))^2} dx$।माना $t = x^3 - f(x)$, तो $dt = (3 x^2 - f'(x)) dx$।अतः, $I = -\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^3 - f(x)} + C$।$\frac{A}{B x^3 + D f(x)} + C$ से तुलना करने पर, हमें $A = 1, B = 1, D = -1$ प्राप्त होता है।इसलिए, $A + B + D = 1 + 1 - 1 = 1$।

$\begin{aligned} & \text{यदि } 5(f(x))^2 = x f(x) + 30 \text{ और } \\ & \int \frac{3 x^3 + (1 - 30 x^2) f(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx \\ & = \frac{A}{B x^3 + D f(x)} + C, \text{ तो } A + B + D = \end{aligned}$

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यदि $\int \frac{(x-1) dx}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} = A \cdot \tan^{-1} \sqrt{f(x)} + \text{अचर}$, तो क्रमित युग्म $(A, f(-1)) =$

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \sqrt{x^2+x+1} \, dx$

$\int \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x} = $

$\int \sqrt{x^2 - 8x + 7} \, dx = $

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