frac{d}{d x}left[a tan ^{-1} x+b log left(fra | vedclass

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Question

(B) दिया गया है, $\frac{d}{d x}\left[a 	an ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}ight)ight]=\frac{1}{x^4-1}$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन

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$-1$

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(B) दिया गया है, $\frac{d}{d x}\left[a 	an ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}ight)ight]=\frac{1}{x^4-1}$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $a 	an ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}ight) = \int \frac{1}{x^4-1} dx$. हम जानते हैं कि $\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1} ight]$. अतः, $\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$. मानक समाकलन सूत्रों $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} ight|$ और $\int \frac{1}{x^2+1} dx = 	an^{-1} x$ का उपयोग करने पर: $a 	an ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}ight) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} ight| ight) - \frac{1}{2} 	an^{-1} x$. $a 	an ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}ight) = -\frac{1}{2} 	an^{-1} x + \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-1}{x+1} ight|$. गुणांकों की तुलना करने पर, $a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है। अतः, $a - 2b = -\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

$\frac{d}{d x}\left[a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]=\frac{1}{x^4-1}$
$\Rightarrow a-2 b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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