int (log x)^3 x^4 , dx | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int (\log x)^3 x^4 \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. $u = (\log x)^3$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 75 p^2 + 30 p - 6] + c$ (जहाँ, $p = \log x$)

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int (\log x)^3 x^4 \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. $u = (\log x)^3$ और $dv = x^4 \, dx$ लेने पर, $du = 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^5}{5}$ प्राप्त होता है।$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4 (\log x)^2 \, dx$.पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} [\frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x \, dx$.अंत में, $\int x^4 \log x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर:$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} [\frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{125} x^5 \log x - \frac{6}{625} x^5 + c$.$\frac{x^5}{625}$ को कॉमन लेने पर:$I = \frac{x^5}{625} [125(\log x)^3 - 75(\log x)^2 + 30(\log x) - 6] + c$.$p = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर, उत्तर $\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 75 p^2 + 30 p - 6] + c$ प्राप्त होता है।

$\int (\log x)^3 x^4 \, dx$

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