int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx = | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले, द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$। व्य

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$\frac{11}{6}$

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(A) हमें समाकलन $I = \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले, द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$। व्यंजक $(x - 1)(x - 2)$, $x \in [0, 1] \cup [2, 3]$ के लिए गैर-ऋणात्मक है और $x \in (1, 2)$ के लिए ऋणात्मक है। अतः, समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है: $I = \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx - \int_1^2 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx$। प्रत्येक समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$। पहले भाग के लिए: $[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_0^1 = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - 0 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$। दूसरे भाग के लिए: $-[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_1^2 = -[(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] = -[\frac{4-5}{6}] = \frac{1}{6}$। तीसरे भाग के लिए: $[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_2^3 = (\frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4) = (9 - 13.5 + 6) - (\frac{2}{3}) = 1.5 - \frac{2}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$। इन मानों को जोड़ने पर: $I = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$।

$\int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx = $

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