int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} sin^2 x cos^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{15}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = -\frac{\pi}{2}$ અને $b = \frac{\pi}{2}$, તેથી $a+b = 0$.$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(-x) \cos^2(-x)(\sin(-x) + \cos(-x)) dx$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(-\sin x + \cos x) dx$ ...(ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x - \sin x + \cos x) dx$$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(2 \cos x) dx$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$કારણ કે $\sin^2 x \cos^3 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે, તેથી $I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$.ધારો કે $\sin x = t$, તેથી $\cos x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=1$.$I = 2 \int_0^1 t^2 (1-t^2) dt = 2 \int_0^1 (t^2 - t^4) dt$$I = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{4}{15}$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx =$

Similar Questions

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+ e^{\sin x}} dx$ ની કિંમત શોધો.

ગણ $S = \{x : x \in [0, 100] \text{ અને } \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt = x^{2}\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\sin x}$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_{0}^{\pi} [\cot x] dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module