vec{r} एक सदिश है जो सदिशों 2 hat{i}-hat{j} औ | vedclass

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Question

(D) सदिश $\vec{r}$, $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{j} + 2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत है। अतः, $\vec{r}$, $\vec{a} 	i

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$\frac{3 \sqrt{6}}{2}$

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(D) सदिश $\vec{r}$, $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{j} + 2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत है। अतः, $\vec{r}$, $\vec{a} 	imes \vec{b}$ के समांतर है।$\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = -2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.माना $\vec{r} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2\lambda(-\hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$.$\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ पर $\vec{r}$ का प्रक्षेप $\frac{|\vec{r} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = 1$ द्वारा दिया जाता है।$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.$\vec{r} \cdot \vec{v} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = \lambda(-4 - 4 + 4) = -4\lambda$.अतः, $\frac{|-4\lambda|}{3} = 1 \Rightarrow |\lambda| = \frac{3}{4}$.$|\vec{r}| = |\lambda| \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \frac{3}{4} \sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{3}{4} \sqrt{24} = \frac{3}{4} 	imes 2 \sqrt{6} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$.

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मान लीजिए $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{1}$ और $L_2: \frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{3}$ दी गई रेखाएँ हैं। तो $L_1$ और $L_2$ के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

उस रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए जो $3, -2, 4$ और $1, 3, -2$ दिक्-अनुपात (direction ratios) वाली रेखाओं पर लंब है।

एक ऐसे सदिश का परिमाण ज्ञात कीजिए जो सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है और सदिशों $\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ के साथ समतलीय है।

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