$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin x}}{x} = $

यदि $f(x) = \begin{cases} x\sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f : [1, 3] \to R$ एक फलन है जो सभी $x \ne 2$ के लिए $\frac{x}{[x]} \le f(x) \le \sqrt{6 - x}$ को संतुष्ट करता है और $f(2) = 1$ है,जहाँ $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।
कथन $1$: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ का अस्तित्व है।
कथन $2$: $f$,$x = 2$ पर सतत है।

$\operatorname{Lim}_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left\{ \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{3}}\right) \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{5}}\right) \dots \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2n+1}}\right) \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।