$S$ અને $T$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $B$ એ ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ છે. જો $\triangle STB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોય, તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) ના સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉપવલયના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો રેખા $\alpha x+4y=\sqrt{7}$, જ્યાં $\alpha \in R$, ઉપવલય $3x^{2}+4y^{2}=1$ ને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શે છે, તો $P$ ના નાભિ અંતરો પૈકીનું એક અંતર શોધો:

સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 - 8x - 18y + 35 = k$ શું દર્શાવે છે?

બિંદુ $P(3,4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે જે ઉપવલયને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
$1.$ $A$ અને $B$ ના યામો છે
$(A)$ $(3,0)$ અને $(0,2)$
$(B)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $(0,2)$
$(D)$ $(3,0)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$2.$ ત્રિકોણ $PAB$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(5, \frac{8}{7}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{7}{5}, \frac{25}{8}\right)$
$(C)$ $\left(\frac{11}{5}, \frac{8}{5}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{8}{25}, \frac{7}{5}\right)$
$3.$ તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ જેનું બિંદુ $P$ અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય,તે છે
$(A)$ $9 x^2+y^2-6 x y-54 x-62 y+241=0$
$(B)$ $x^2+9 y^2+6 x y-54 x+62 y-241=0$
$(C)$ $9 x^2+9 y^2-6 x y-54 x-62 y-241=0$
$(D)$ $x^2+y^2-2 x y+27 x+31 y-120=0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $P$ એ $(2,3)$ શિરોબિંદુ અને $2x+y=6$ નિયામિકા ધરાવતું પરવલય છે. ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,તે પરવલય $P$ ના નાભિમાંથી પસાર થાય છે. તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ શોધો.