ધારો કે $P$ એ $(2,3)$ શિરોબિંદુ અને $2x+y=6$ નિયામિકા ધરાવતું પરવલય છે. ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,તે પરવલય $P$ ના નાભિમાંથી પસાર થાય છે. તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ શોધો.

જો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $5/8$ હોય અને તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $10$ હોય,તો તેનું નાભિલંબ શોધો.

ઉપવલય $9x^2+4y^2=36$ પરના બિંદુ $\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ ના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $(l, m)$ એ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ઉપવલયમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર હોય,જેના શિરોબિંદુઓ $\theta_1, \theta_2$ અને $\theta_3$ ઉત્કેન્દ્રિય કોણ ધરાવતા બિંદુઓ પર હોય,તો $\frac{2}{3}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\cos \left(\theta_2-\theta_3\right)+\cos \left(\theta_3-\theta_1\right)\right]=$

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$,જ્યાં $a > 2$,માં અંતર્ગત ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ,જેનો એક શિરોબિંદુ ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષના એક અંત્યબિંદુ પર હોય અને એક બાજુ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તે $6 \sqrt{3}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.