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Question

(D) चरण $1$: एकैकी (injective) गुण की जाँच करें। मान लीजिए $f(n_1) = f(n_2)$.$(n_1+5)^2 = (n_2+5)^2$.चूँकि $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$, $n_1+5 > 0$ और $

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$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है

Vedclass · Answer

(D) चरण $1$: एकैकी (injective) गुण की जाँच करें। मान लीजिए $f(n_1) = f(n_2)$.$(n_1+5)^2 = (n_2+5)^2$.चूँकि $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$, $n_1+5 > 0$ और $n_2+5 > 0$ है। दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर, हमें $n_1+5 = n_2+5$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $n_1 = n_2$.अतः, $f$ एकैकी है।चरण $2$: आच्छादक (surjective) गुण की जाँच करें। $f$ के आच्छादक होने के लिए, प्रत्येक $y \in \mathbb{N}$ के लिए, एक ऐसा $n \in \mathbb{N}$ होना चाहिए कि $f(n) = y$ हो।मान लीजिए $f(n) = (n+5)^2 = y$ है। चूँकि $n \ge 1$, $f(n)$ का न्यूनतम मान $(1+5)^2 = 36$ है।इस प्रकार, सह-प्रांत $\mathbb{N}$ में $1, 2, 3, \dots, 35$ जैसी संख्याओं का प्रांत $\mathbb{N}$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।उदाहरण के लिए, ऐसा कोई $n \in \mathbb{N}$ नहीं है जिसके लिए $(n+5)^2 = 1$ हो।अतः, $f$ आच्छादक नहीं है।निष्कर्ष: $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

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मान लीजिए $f: N \to N$,$f(x) = x^2 + x + 1$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $x \in N$ है। तो $f$ है:

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