int frac{sin ^8 x-cos ^8 x}{1-2 sin ^2 x cos | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^8 x - \cos ^8 x}{1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$. वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके, हम

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{2} \sin 2x + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^8 x - \cos ^8 x}{1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$. वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके, हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^4 x - \cos ^4 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x) = (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$. चूंकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$, अंश $(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$ हो जाता है। साथ ही, ध्यान दें कि $\sin ^4 x + \cos ^4 x = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$. इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x)}{1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$. $I = \int (\sin ^2 x - \cos ^2 x) \, dx = \int -(\cos ^2 x - \sin ^2 x) \, dx$. सर्वसमिका $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = -\int \cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + C$.

$\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$

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