int {{x^x}(1 + log x),dx} का मान ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {{x^x}(1 + \log x)\,dx} $ है। फलन $f(x) = x^x$ पर विचार करें। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log f(x) = x \log x$

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${x^x} + C$

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(A) माना $I = \int {{x^x}(1 + \log x)\,dx} $ है। फलन $f(x) = x^x$ पर विचार करें। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log f(x) = x \log x$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ प्राप्त होता है। अतः,$f'(x) = f(x)(1 + \log x) = x^x(1 + \log x)$ है। चूंकि $x^x$ का अवकलज $x^x(1 + \log x)$ है,इसलिए $x^x(1 + \log x)$ का समाकलन $x^x + C$ होगा।

$\int {{x^x}(1 + \log x)\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{\text{cosec}\theta - \cot\theta}{\text{cosec}\theta + \cot\theta} \, d\theta = $

$f^{\prime}(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ और $f(0) = \frac{1}{3}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।

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$ \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

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