int_0^{1000} e^{x-[x]} , dx का मान ज्ञात कीजि | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = e^{x-[x]}$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है, क्योंकि $[x+1] = [x]+1$ होता है। अतः, $f(x+1) = e^{(x+1)-[x+1]} = e^{x+1-[x]-1}

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$1000(e-1)$

Vedclass · Answer

(A) फलन $f(x) = e^{x-[x]}$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है, क्योंकि $[x+1] = [x]+1$ होता है। अतः, $f(x+1) = e^{(x+1)-[x+1]} = e^{x+1-[x]-1} = e^{x-[x]} = f(x)$। निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^{nT} f(x) \, dx = n \int_0^T f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर, जहाँ $n = 1000$ और $T = 1$: $I = \int_0^{1000} e^{x-[x]} \, dx = 1000 \int_0^1 e^{x-[x]} \, dx$। $x \in [0, 1)$ के लिए, $[x] = 0$ होता है, इसलिए $e^{x-[x]} = e^x$। $I = 1000 \int_0^1 e^x \, dx$। $I = 1000 [e^x]_0^1 = 1000(e^1 - e^0) = 1000(e-1)$।

$\int_0^{1000} e^{x-[x]} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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