XY-समतल में एक इकाई सदिश जो hat{i}+hat{j} के | vedclass

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Question

(A) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ है। चूँकि यह एक इकाई सदिश है, $x^2 + y^2 = 1$। दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b

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$\frac{13}{14}\hat{i}+\frac{1}{14}\hat{j}$

Vedclass · Answer

(A) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ है। चूँकि यह एक इकाई सदिश है, $x^2 + y^2 = 1$। दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$। $\vec{r}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है, इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$। अतः, $x + y = 1 \implies y = 1 - x$। $\vec{r}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है, इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{b} = |\vec{r}||\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$। अतः, $3x - 4y = \frac{5}{2} \implies 6x - 8y = 5$। दूसरे समीकरण में $y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर: $6x - 8(1 - x) = 5 \implies 6x - 8 + 8x = 5 \implies 14x = 13 \implies x = \frac{13}{14}$। तब $y = 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$। अतः, इकाई सदिश $\frac{13}{14}\hat{i} + \frac{1}{14}\hat{j}$ है।

$XY$-समतल में एक इकाई सदिश जो $\hat{i}+\hat{j}$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण और $3\hat{i}-4\hat{j}$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है, वह है

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