begin{vmatrix} cos^2theta & -sin^2theta sin^ | vedclass

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Question

(B) सारणिक का मान इस प्रकार परिकलित किया जाता है: $\begin{vmatrix} \cos^2	heta & -\sin^2	heta \ \sin^2	heta & \cos^2	heta \end{vmatrix} = (\cos^2

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$\frac{1}{4}(3 + \cos 4	heta)$

Vedclass · Answer

(B) सारणिक का मान इस प्रकार परिकलित किया जाता है: $\begin{vmatrix} \cos^2	heta & -\sin^2	heta \ \sin^2	heta & \cos^2	heta \end{vmatrix} = (\cos^2	heta)(\cos^2	heta) - (-\sin^2	heta)(\sin^2	heta) = \cos^4	heta + \sin^4	heta$. सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करने पर: $\cos^4	heta + \sin^4	heta = (\cos^2	heta + \sin^2	heta)^2 - 2\sin^2	heta\cos^2	heta = 1 - 2\sin^2	heta\cos^2	heta$. चूंकि $\sin 2	heta = 2\sin	heta\cos	heta$, इसलिए $\sin^2 2	heta = 4\sin^2	heta\cos^2	heta$, जिसका अर्थ है $2\sin^2	heta\cos^2	heta = \frac{1}{2}\sin^2 2	heta$. अतः, व्यंजक $1 - \frac{1}{2}\sin^2 2	heta$ हो जाता है। अब, $\sin^2 2	heta = \frac{1 - \cos 4	heta}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $1 - \frac{1}{2}(\frac{1 - \cos 4	heta}{2}) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4	heta = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4	heta = \frac{1}{4}(3 + \cos 4	heta)$. इसलिए, विकल्प $(B)$ सही है।

$\begin{vmatrix} \cos^2\theta & -\sin^2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta \end{vmatrix} = \dots$

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यदि $a_i, b_i, c_i \in \mathbb{R}$ जहाँ $i=1, 2, 3$ और $x \in \mathbb{R}$ तथा $\begin{vmatrix} a_1+b_1 x & a_1 x+b_1 & c_1 \\ a_2+b_2 x & a_2 x+b_2 & c_2 \\ a_3+b_3 x & a_3 x+b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ है, तो:

यदि $\left| \begin{matrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & x & x^2 \\ b^2 & ab & a^2 \end{matrix} \right| = 0$ है,तो:

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