int e^x left( frac{1-x}{1+x^2} right)^2 dx = | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx$ है।अंश का विस्तार करने पर, हमें $I = \int e^x \frac{1-2x+x^2}{(1+x^2)^2} dx$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e^x}{1+x^2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx$ है।अंश का विस्तार करने पर, हमें $I = \int e^x \frac{1-2x+x^2}{(1+x^2)^2} dx$ प्राप्त होता है।इसे $I = \int e^x \left[ \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।$I = \int e^x \left[ \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$।हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ जानते हैं।यहाँ, मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$।अतः, $f'(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$।चूंकि समाकल्य $e^x [f(x) + f'(x)]$ के रूप में है, इसलिए हल $e^x f(x) + C = \frac{e^x}{1+x^2} + C$ है।

$\int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx = $ . . . . . . + $C$

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$\int e^{x} \frac{(x-1)}{x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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