int e^{2x + log x} dx = | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int e^{2x + \log x} dx$ दिया गया है। घातांक के नियम $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ और $e^{\log x} = x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त

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$\frac{1}{4}(2x - 1)e^{2x} + c$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int e^{2x + \log x} dx$ दिया गया है। घातांक के नियम $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ और $e^{\log x} = x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int e^{2x} \cdot e^{\log x} dx = \int x e^{2x} dx$. अब,खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का उपयोग करते हुए: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. मान लीजिए $u = x$ और $v = e^{2x}$ है। तब $u' = 1$ और $\int v dx = \frac{e^{2x}}{2}$ होगा। $I = x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int 1 \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx$. $I = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2x}}{2} + c$. $I = \frac{2x e^{2x} - e^{2x}}{4} + c = \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + c$.

$\int e^{2x + \log x} dx = $

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यदि $f(x) = \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$ और $g(x) = e^{\sin^{-1} x}$ है, तो $\int f(x)g(x) dx = \dots$ का मान क्या होगा?

$\int e^{\sqrt{x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए ($A$ एक स्वेच्छ अचर है)।

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