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Question

(B) माना $I = \int {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx$. प्रथम पद $\int \frac{1}{\log x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (

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$\frac{x}{{\log x}} + c$

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(B) माना $I = \int {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx$. प्रथम पद $\int \frac{1}{\log x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: माना $u = \frac{1}{\log x}$ और $dv = dx$. तब $du = -\frac{1}{x(\log x)^2} dx$ और $v = x$. अतः,$\int \frac{1}{\log x} dx = \frac{x}{\log x} - \int x \left( -\frac{1}{x(\log x)^2} \right) dx = \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$. इस मान को मूल समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \left( \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx \right) - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx + c$. $I = \frac{x}{\log x} + c$.

$\int {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]dx = } $

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यदि $\int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx = e^{x^2} f(x) + c$ और $f(1) = 0$ है (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int {e^x \sin x \, dx} = \frac{1}{2} e^x \cdot a + c$ है,तो $a = $

$\int e^{\sin x} \sin 2x \, dx = $ . . . . . . $+ c$.

यदि $\int f(x) dx = g(x)$ है, तो $\int x^3 f(x^2) dx$ किसके बराबर है?

यदि $I = \int \sin(\log x) \, dx$ है,तो $I$ का मान क्या होगा?

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