यदि int f(x) dx = g(x) है, तो int x^3 f(x^2) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int x^3 f(x^2) dx$ है। $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर, $dt = 2x dx$, जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$। साथ ही, $x^2 = t$ है। इन्हे

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$\frac{1}{2} [x^2 g(x^2) - \int g(x^2) d(x^2)]$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int x^3 f(x^2) dx$ है। $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर, $dt = 2x dx$, जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$। साथ ही, $x^2 = t$ है। इन्हें समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int x^2 f(x^2) (x dx) = \int t f(t) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t f(t) dt$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $\int u dv = uv - \int v du$, माना $u = t$ और $dv = f(t) dt$ है। तब $du = dt$ और $v = \int f(t) dt = g(t)$ है। अतः, $I = \frac{1}{2} [t g(t) - \int g(t) dt]$। $t = x^2$ वापस रखने पर, हमें $I = \frac{1}{2} [x^2 g(x^2) - \int g(x^2) d(x^2)]$ प्राप्त होता है।

यदि $\int f(x) dx = g(x)$ है, तो $\int x^3 f(x^2) dx$ किसके बराबर है?

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