int {{{left( {frac{{x + 2}}{{x + 4}}} right)} | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $\int {{e^x}[f(x) + f'(x)]dx = {e^x}f(x) + c}$ होता है।माना $I = \int {{e^x}{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}dx} $ है

Vedclass · Accepted Answer

${e^x}\left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right) + c$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $\int {{e^x}[f(x) + f'(x)]dx = {e^x}f(x) + c}$ होता है।माना $I = \int {{e^x}{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}dx} $ है।वर्ग के अंदर के पद को फिर से लिखने पर: $\frac{{x + 2}}{{x + 4}} = \frac{{x + 4 - 2}}{{x + 4}} = 1 - \frac{2}{{x + 4}}$।अतः,$I = \int {{e^x}{{\left( {1 - \frac{2}{{x + 4}}} \right)}^2}dx} = \int {{e^x}\left( {1 - \frac{4}{{x + 4}} + \frac{4}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right)dx} $ है।माना $f(x) = 1 - \frac{4}{{x + 4}}$ है। तब $f'(x) = - \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{4}{{x + 4}}} \right) = - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right) = \frac{4}{{{{(x + 4)}^2}}}$ है।इस प्रकार,$I = \int {{e^x}[f(x) + f'(x)]dx = {e^x}f(x) + c} $ है।$I = {e^x}\left( {1 - \frac{4}{{x + 4}}} \right) + c = {e^x}\left( {\frac{{x + 4 - 4}}{{x + 4}}} \right) + c = {e^x}\left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right) + c$।

$\int {{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}{e^x}\,dx} $ किसके बराबर है?

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यदि $\int {\frac{{{e^x}(1 + \sin x)}}{{1 + \cos x}}} dx = {e^x}f(x) + c$ है,तो $f(x) = $

$\int_1^e {\frac{{{e^x}}}{x}(1 + x\log x)\,dx} = $

$\int {{e^{2x}}( - \sin x + 2\cos x)\,dx} = $

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ जहाँ $x > 0$.

निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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