यदि int {frac{{{e^x}(1 + sin x)}}{{1 + cos x} | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int {e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right)} dx$ दिया गया है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ और

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$	an \frac{x}{2}$

Vedclass · Answer

(C) हमें समाकलन $I = \int {e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} ight)} dx$ दिया गया है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ और $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ का उपयोग करने पर: $I = \int e^x \left[ \frac{1 + 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} ight] dx$ $I = \int e^x \left[ \frac{1}{2\cos^2(x/2)} + \frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} ight] dx$ $I = \int e^x \left[ \frac{1}{2}\sec^2(x/2) + 	an(x/2) ight] dx$. माना $f(x) = 	an(x/2)$ है। तब $f'(x) = \frac{1}{2}\sec^2(x/2)$ होगा। चूंकि समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $I = e^x 	an(x/2) + c$. इसे दिए गए व्यंजक ${e^x}f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = 	an(x/2)$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\frac{{{e^x}(1 + \sin x)}}{{1 + \cos x}}} dx = {e^x}f(x) + c$ है,तो $f(x) = $

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यदि $I = \int e^{\sin \theta} (\log \sin \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta) \cos \theta \, d\theta$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल $\int_{1}^{2} e^{x} \cdot x^{x}(1 + \log_{e} x + 1) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int {{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_1^2 {{e^x}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx = } $

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