int {{e^{{{tan }^{ - 1}}x}}} left( {frac{{1 + | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} ight)dx$। ${	an ^{ - 1}}x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x =

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$x{e^{{{	an }^{ - 1}}x}} + c$

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(A) माना $I = \int {{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} ight)dx$। ${	an ^{ - 1}}x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = 	an t$ और $dx = \sec^2 t \, dt$ प्राप्त होता है। साथ ही,$\frac{dx}{1+x^2} = dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int e^t (1 + 	an t + 	an^2 t) dt$ $I = \int e^t (1 + 	an^2 t + 	an t) dt$ चूँकि $1 + 	an^2 t = \sec^2 t$,अतः: $I = \int e^t (\sec^2 t + 	an t) dt$। मानक समाकलन सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = 	an t$ और $f'(t) = \sec^2 t$: $I = e^t 	an t + C$। $t = 	an^{-1} x$ वापस रखने पर: $I = x e^{	an^{-1} x} + C$।

$\int {{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int {{e^x}(1 + \tan x + {{\tan }^2}x)\,dx = } $

$\int {{e^x} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx = $

समाकल $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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