समाकलन ज्ञात कीजिए: int {frac{{{e^{{{tan }^{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int {\frac{{{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } ight)}^2}\

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${e^{{{	an }^{ - 1}}x}}\,.\,{\left( {{{	an }^{ - 1}}x} ight)^2}\,\,+ C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int {\frac{{{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } ight)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} ight)} ight]} \,\,\,dx$ है। सबसे पहले,त्रिकोणमितीय पदों को सरल करने पर: $x > 0$ के लिए,माना $	an^{-1}x = 	heta$,तो $x = 	an	heta$। $\sec^{-1}\sqrt{1+x^2} = \sec^{-1}(\sec	heta) = 	heta = 	an^{-1}x$। साथ ही,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight) = \cos^{-1}(\cos 2	heta) = 2	heta = 2	an^{-1}x$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{e^{	an^{-1}x}}{1+x^2} [(	an^{-1}x)^2 + 2	an^{-1}x] dx$। माना $t = 	an^{-1}x$,तो $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$। $I = \int e^t (t^2 + 2t) dt$। सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$: $I = e^t \cdot t^2 + C = e^{	an^{-1}x} (	an^{-1}x)^2 + C$।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ जहाँ $x > 0$.

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$\int e^x \left[ \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right] dx =$

$\int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx = $

यदि $\int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx = a+\frac{b}{\log 2}$ है,तो:

$\int e^x(1-\cot x+\cot^2 x) dx =$

$\int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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