int {32{x^3}{{(log x)}^2}dx} का मान ज्ञात की | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {32{x^3}{{(\log x)}^2}} dx = 32\int {{x^3}{{(\log x)}^2}dx} $.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx =

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${x^4}\{ 8{(\log x)^2} - 4\log x + 1\} + c$

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(A) माना $I = \int {32{x^3}{{(\log x)}^2}} dx = 32\int {{x^3}{{(\log x)}^2}dx} $.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$,जहाँ $u = {(\log x)^2}$ और $v = {x^3}$ है।$I = 32 \left[ {(\log x)^2 \cdot \frac{x^4}{4} - \int {2 \log x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx} } \right]$$I = 32 \left[ \frac{x^4 (\log x)^2}{4} - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx \right]$अब,$\int x^3 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \log x$ और $v = x^3$ है:$I = 32 \left[ \frac{x^4 (\log x)^2}{4} - \frac{1}{2} \left( \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx \right) \right] + c$$I = 32 \left[ \frac{x^4 (\log x)^2}{4} - \frac{x^4 \log x}{8} + \frac{1}{8} \int x^3 dx \right] + c$$I = 32 \left[ \frac{x^4 (\log x)^2}{4} - \frac{x^4 \log x}{8} + \frac{x^4}{32} \right] + c$$I = 8x^4 (\log x)^2 - 4x^4 \log x + x^4 + c$$I = x^4 \{ 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1 \} + c$.

$\int {32{x^3}{{(\log x)}^2}dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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