int {xsqrt {frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} } | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int x\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \;dx$. अंश और हर को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x(1-x^2)}{\sqrt{(1-x^2

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$\frac{1}{2}[{\sin ^{ - 1}}({x^2}) + \sqrt {1 - {x^4}} ] + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int x\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \;dx$. अंश और हर को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x(1-x^2)}{\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)}} \;dx = \int \frac{x - x^3}{\sqrt{1-x^4}} \;dx$. समाकलन को अलग करने पर: $I = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} \;dx - \int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}} \;dx$. पहले भाग के लिए,$x^2 = t$ रखने पर,$2x \;dx = dt$,इसलिए $x \;dx = \frac{1}{2} dt$: $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} \;dx = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{2} \sin^{-1}(t) = \frac{1}{2} \sin^{-1}(x^2)$. दूसरे भाग के लिए,$1-x^4 = u$ रखने पर,$-4x^3 \;dx = du$,इसलिए $x^3 \;dx = -\frac{1}{4} du$: $\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}} \;dx = -\frac{1}{4} \int u^{-1/2} \;du = -\frac{1}{4} (2\sqrt{u}) = -\frac{1}{2} \sqrt{1-x^4}$. इन परिणामों को जोड़ने पर: $I = \frac{1}{2} \sin^{-1}(x^2) - (-\frac{1}{2} \sqrt{1-x^4}) + c = \frac{1}{2} [\sin^{-1}(x^2) + \sqrt{1-x^4}] + c$.

$\int {x\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} } \;dx = $

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