int_0^{1/2} frac{x sin^{-1} x}{sqrt{1 - x^2}} | vedclass

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Question

(B) माना $t = \sin^{-1} x$. तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. जब $x = 0$,तो $t = 0$. जब $x = 1/2$,तो $t = \sin^{-1}(1/2) = \pi/6$. साथ ही,$x = \s

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$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$

Vedclass · Answer

(B) माना $t = \sin^{-1} x$. तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. जब $x = 0$,तो $t = 0$. जब $x = 1/2$,तो $t = \sin^{-1}(1/2) = \pi/6$. साथ ही,$x = \sin t$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $\int_0^{\pi/6} t \sin t \, dt$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = t$,$dv = \sin t \, dt$. तब $du = dt$,$v = -\cos t$. $\int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t$. निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $[-t \cos t + \sin t]_0^{\pi/6} = (-\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})) - (0 + 0)$. $= -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$.

$\int_0^{1/2} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

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$\int_{1 / 2}^{1 / \sqrt{2}} \frac{1}{\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1-x^2\right)} d x=$

यदि $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$ है, तो $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल $\int\limits_{\infty}^{0} \frac{z e^{-z}}{\sqrt{1-e^{-2z}}} \, dz$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi \left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-1}^1 \left( \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

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