int_0^{pi /4} frac{dx}{cos^4 x - cos^2 x sin^ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\pi /4} \frac{dx}{\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x}$.अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:$I = \int_0^{\pi /4} \fra

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$\frac{\pi}{2}$

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(A) माना $I = \int_0^{\pi /4} \frac{dx}{\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x}$.अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:$I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sec^4 x dx}{1 - 	an^2 x + 	an^4 x} = \int_0^{\pi /4} \frac{(1 + 	an^2 x) \sec^2 x dx}{1 - 	an^2 x + 	an^4 x}$.$	an x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^2 x dx = dt$. जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \pi/4, t = 1$.$I = \int_0^1 \frac{1 + t^2}{t^4 - t^2 + 1} dt = \int_0^1 \frac{\frac{1}{t^2} + 1}{t^2 - 1 + \frac{1}{t^2}} dt = \int_0^1 \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t - \frac{1}{t})^2 + 1} dt$.माना $u = t - \frac{1}{t}$,तब $du = (1 + \frac{1}{t^2}) dt$. जब $t 	o 0^+, u 	o -\infty$ और जब $t 	o 1, u 	o 0$.$I = \int_{-\infty}^0 \frac{du}{u^2 + 1} = [	an^{-1} u]_{-\infty}^0 = 	an^{-1}(0) - 	an^{-1}(-\infty) = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

$\int_0^{\pi /4} \frac{dx}{\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x} = $

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