int_{0}^{1} sin left( 2 tan^{-1} sqrt{frac{1+ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \sin \left( 2 	an^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} ight) \, dx$. $x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\sin 	heta \,

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$\pi / 4$

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(B) माना $I = \int_{0}^{1} \sin \left( 2 	an^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} ight) \, dx$. $x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\sin 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = \pi / 2$ और जब $x = 1$,तो $	heta = 0$। साइन फलन के अंदर का पद: $2 	an^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos 	heta}{1-\cos 	heta}} = 2 	an^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2(	heta/2)}{2 \sin^2(	heta/2)}} = 2 	an^{-1} (\cot(	heta/2)) = 2 	an^{-1} \left( 	an \left( \frac{\pi}{2} - \frac{	heta}{2} ight) ight) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{	heta}{2} ight) = \pi - 	heta$। अतः,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int_{\pi/2}^{0} \sin(\pi - 	heta) (- \sin 	heta) \, d	heta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 	heta \, d	heta$। सर्वसमिका $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2	heta}{2} \, d	heta = \left[ \frac{	heta}{2} - \frac{\sin 2	heta}{4} ight]_{0}^{\pi/2} = \left( \frac{\pi}{4} - 0 ight) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4}$।

$\int_{0}^{1} \sin \left( 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right) \, dx = $

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मान लीजिए $f(x)$ एक सम फलन (even function) है जिसका आवर्तकाल $2$ है और $f(x)$ प्रत्येक अंतराल पर समाकलनीय है। यदि $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ है, तो $g(x+2) =$

$\int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_0^\pi \frac{8 x \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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