int_{ - pi /2}^{pi /2} {frac{{cos x}}{{1 + {e | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + {e^x}}}dx}$.ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + {e^x}}}dx}$.ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:$I = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos( - \pi /2 + \pi /2 - x)}}{{1 + {e^{ - \pi /2 + \pi /2 - x}}}}dx} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos( - x)}}{{1 + {e^{ - x}}}}dx} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + e^{ - x}}}}dx$.કારણ કે $\cos(-x) = \cos x$,તેથી $I = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + 1/e^x}}}dx = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{e^x \cos x}}{{e^x + 1}}}dx$.$I$ ના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + e^x}}}dx + \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{e^x \cos x}}{{1 + e^x}}}dx = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x(1 + e^x)}}{{1 + e^x}}}dx = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\cos x} dx$.$2I = [\sin x]_{ - \pi /2}^{\pi /2} = \sin(\pi /2) - \sin( - \pi /2) = 1 - (-1) = 2$.તેથી,$I = 1$.

$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + {e^x}}}\,dx = } $

Similar Questions

જો $2 \int_0^1 \tan^{-1} x \, dx = \int_0^1 \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ હોય,તો $\int_0^1 \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $[a]$ એ $a$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે, તો સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[\sin x \cos x] dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{\pi / 11}^{9 \pi / 22} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}} = $

$\int_{-\pi / 2}^{2 \pi} \sin ^{-1}(\sin x) d x=$

જો $\int_{-a}^{a} (|x| + |x-2|) dx = 22$,$(a > 2)$ અને $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ દર્શાવે છે,તો $\int_{a}^{-a} (x + [x]) dx$ ની કિંમત ........... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module