int_{0}^{pi} cos^3 x , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \

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$0$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \cos^3(\pi - x) \, dx$। चूँकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^3(\pi - x) = -\cos^3 x$। अतः,$I = \int_{0}^{\pi} -\cos^3 x \, dx = -I$। $2I = 0 \implies I = 0$। वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 0$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = -f(x)$ हो,यहाँ $f(x) = \cos^3 x$ और $2a = \pi$ है,इसलिए $f(\pi - x) = -f(x)$,अतः समाकलन का मान $0$ है।

$\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx = $

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यदि $\int_0^\pi {x\,f({{\cos }^2}x + {{\tan }^4}x)\,dx} = k\int_0^{\pi /2} {f({{\cos }^2}x + {{\tan }^4}x)\,dx,}$ तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = $ . . . . . . .

$\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{2{x^3} - 3{x^2} - x + 1}}\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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