यदि int_0^pi {x,f({{cos }^2}x + {{tan }^4}x), | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi x f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$ ... $(i)$निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I =

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$\pi $

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(B) माना $I = \int_0^\pi x f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$ ... $(i)$निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\cos^2(\pi - x) + 	an^4(\pi - x)) dx$चूँकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$ और $	an(\pi - x) = -	an x$,इसलिए $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$ और $	an^4(\pi - x) = 	an^4 x$ होता है।अतः,$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$ ... $(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$$2I = \pi \int_0^\pi f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर (यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो):यहाँ $f(\cos^2(\pi-x) + 	an^4(\pi-x)) = f(\cos^2 x + 	an^4 x)$ है,अतः यह शर्त संतुष्ट होती है।$2I = \pi \cdot 2 \int_0^{\pi/2} f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$$I = \pi \int_0^{\pi/2} f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$दिए गए समीकरण $I = k \int_0^{\pi/2} f(\cos^2 x + 	an^4 x) dx$ से तुलना करने पर,हमें $k = \pi$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_0^\pi {x\,f({{\cos }^2}x + {{\tan }^4}x)\,dx} = k\int_0^{\pi /2} {f({{\cos }^2}x + {{\tan }^4}x)\,dx,}$ तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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