$\int_{-2012}^{2012} (\sin(x^3) + x^5 + 1) dx$ का मान है

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो सभी $x \in R$ के लिए $f(x) + f(x + k) = n$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $k > 0$ और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। यदि $I_{1} = \int_{0}^{4nk} f(x) dx$ और $I_{2} = \int_{-k}^{3k} f(x) dx$ है,तो:

मान लीजिए कि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ सतत फलन हैं,तो समाकलन $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या होगा?

$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx$ का मान है

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$