int_{-pi/4}^{pi/4} sin^{103} x cdot cos^{101} | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x$ है। हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम: $f(-x) = \sin^{103}(-x) \cdot \cos

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(D) माना $f(x) = \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x$ है। हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम: $f(-x) = \sin^{103}(-x) \cdot \cos^{101}(-x)$ चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$,इसलिए: $f(-x) = (-\sin x)^{103} \cdot (\cos x)^{101} = -\sin^{103} x \cdot \cos^{101} x = -f(x)$। चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है। अतः,$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx = 0$।

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx$ का मान है

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यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से अधिक नहीं है,तो $\int_0^n {\{x - [x]\} \,dx}$ का मान क्या होगा?

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \tan \left(1+x^2\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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