int_{0}^{1} frac{dx}{x + sqrt{1 - x^2}} का मा | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$.$x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x =

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$\frac{\pi}{4}$

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(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$.$x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$,तब $	heta = 0$ और जब $x = 1$,तब $	heta = \frac{\pi}{2}$।$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos 	heta \, d	heta}{\sin 	heta + \cos 	heta}$।गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(	heta) \, d	heta = \int_{0}^{a} f(a - 	heta) \, d	heta$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos(\pi/2 - 	heta) \, d	heta}{\sin(\pi/2 - 	heta) + \cos(\pi/2 - 	heta)} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin 	heta \, d	heta}{\cos 	heta + \sin 	heta}$।$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos 	heta + \sin 	heta}{\sin 	heta + \cos 	heta} \, d	heta = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, d	heta = [	heta]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}$।अतः,$I = \frac{\pi}{4}$।

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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