मान लीजिए कि f:R to R और g:R to R सतत फलन हैं | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $h(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$ है। अब,$h(-x)$ की गणना करते हैं: $h(-x) = [f(-x) + f(-(-x))][g(-x) - g(-(-x))] = [f(-x) + f(x)][g(

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(D) मान लीजिए $h(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$ है। अब,$h(-x)$ की गणना करते हैं: $h(-x) = [f(-x) + f(-(-x))][g(-x) - g(-(-x))] = [f(-x) + f(x)][g(-x) - g(x)]$। हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $h(-x) = -[f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] = -h(x)$। चूंकि $h(-x) = -h(x)$,इसलिए फलन $h(x)$ एक विषम फलन (odd function) है। किसी भी विषम फलन $h(x)$ के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर समाकलन का मान शून्य होता है: $\int_{-a}^{a} h(x) \, dx = 0$। अतः,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx = 0$।

मान लीजिए कि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ सतत फलन हैं,तो समाकलन $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या होगा?

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