int_{-1}^{1} log(x + sqrt{x^2 + 1}) , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \log(x + \sqrt{1 + x^2})$ है।अब,$f(-x) = \log(-x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$ है।$(\sqrt{1 + x^2} + x)$ से गुणा औ

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(A) माना $f(x) = \log(x + \sqrt{1 + x^2})$ है।अब,$f(-x) = \log(-x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$ है।$(\sqrt{1 + x^2} + x)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f(-x) = \log\left(\frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x}\right)$$= \log\left(\frac{(1 + x^2) - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x}\right)$$= \log\left(\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x}\right)$$= \log(1) - \log(\sqrt{1 + x^2} + x) = -f(x)$ है।चूंकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{1 + x^2}) \, dx = 0$ है।

$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \, dx = $

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$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = $

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{x}{1+\sin x} \,d x=$

यदि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) है और $f(x)$ का प्रांत (domain) $x \in [1, 5]$ है,जहाँ $f(1) = 2$ और $f(5) = 10$,तो $\int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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