int_{-1}^{1} log left( frac{1+x}{1-x} right) | vedclass

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Question

(C) माना कि $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके यह जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = \log \left( \frac{1+

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(C) माना कि $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके यह जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = \log \left( \frac{1+(-x)}{1-(-x)} \right) = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = \log \left( \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = 0$।

$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = $

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$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx$ का मान है

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = $ . . . . . . .

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$I=\int_{\sqrt{\log _e 2}}^{\sqrt{\log _e 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2+\sin \left(\log _e 6-x^2\right)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए असमिका $\int_{a}^{0} (3^{-2x} - 2 \cdot 3^{-x}) \, dx \geq 0$ सत्य है:

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