int_0^{pi /2} {left( {frac{theta }{{sin theta | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{	heta }{{\sin 	heta }}} ight)^2 d	heta } $. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = 	heta^2$ અને $dv = \cs

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{	heta }{{\sin 	heta }}} ight)^2 d	heta } $. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = 	heta^2$ અને $dv = \csc^2 	heta \, d	heta$ લો. તેથી $du = 2	heta \, d	heta$ અને $v = -\cot 	heta$ મળે. $I = [-	heta^2 \cot 	heta]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} 2	heta \cot 	heta \, d	heta$. સીમાવર્તી પદની ગણતરી કરતા: $\lim_{	heta 	o \pi/2} (-	heta^2 \cot 	heta) = 0$ અને $\lim_{	heta 	o 0} (-	heta^2 \cot 	heta) = \lim_{	heta 	o 0} (-	heta^2 \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta}) = 0$. તેથી,$I = 2 \int_0^{\pi/2} 	heta \cot 	heta \, d	heta$. ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = 	heta$ અને $dv = \cot 	heta \, d	heta$ લો. તેથી $du = d	heta$ અને $v = \ln(\sin 	heta)$ મળે. $I = 2 [	heta \ln(\sin 	heta)]_0^{\pi/2} - 2 \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta$. કારણ કે $\ln(\sin(\pi/2)) = \ln(1) = 0$ અને $\lim_{	heta 	o 0} 	heta \ln(\sin 	heta) = 0$,તેથી પ્રથમ પદ $0$ થાય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) \, d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$. તેથી,$I = 0 - 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = \pi \ln 2$.

$\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta = } $

Similar Questions

$\int {e^{x/2}} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx = $

આપેલ છે કે $\int_0^\infty \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)(x^2 + c^2)} = \frac{\pi}{2(a + b)(b + c)(c + a)}$,તો $\int_0^\infty \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)}$ ની કિંમત શોધો.

જો $I(x) = \int e^{\sin^2 x} (\cos x \sin 2x - \sin x) dx$ અને $I(0) = 1$ હોય,તો $I\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ ની કિંમત શું થાય?

નીચેના સંકલિત શોધો: $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module