int_0^{pi /2} sin^2 x cos^3 x , dx = | vedclass

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Question

(B) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{15}$

Vedclass · Answer

(B) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.यहाँ,$m = 2$ और $n = 3$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos^3 x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{2+1}{2}) \Gamma(\frac{3+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{2+3+2}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(2)}{2 \Gamma(\frac{7}{2})}$.हम जानते हैं कि $\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$,$\Gamma(2) = 1! = 1$,और $\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{15}{8} \sqrt{\pi}$.अतः,समाकलन $\frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) \cdot 1}{2 \cdot (\frac{15}{8} \sqrt{\pi})} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\pi}}{\frac{15}{4} \sqrt{\pi}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{15}$ है।

$\int_0^{\pi /2} \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $

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